[noip2018-提高] 填数游戏

题目描述

小 D 特别喜欢玩游戏。这一天，他在玩一款填数游戏。

这个填数游戏的棋盘是一个$n \times m$的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入 一个数字（数字 $0$或者数字 $1$），填数时需要满足一些限制。

下面我们来具体描述这些限制。

为了方便描述，我们先给出一些定义：

• 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子，即（行坐标，列坐标）。（注意： 行列坐标均从 $0$ 开始编号）

• 合法路径 $P$：一条路径是合法的当且仅当：

  1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子$(0,0)$出发，到矩形的右下角格子 $(n - 1,m - 1)$结束；
  2. 在这条路径中，每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子，或者 从当前格子移动到下面与它相邻的格子。
     例如：在下面这个矩形中，只有两条路径是合法的，它们分别是$P_1$： $(0,0)$ → $(0,1)$ → $(1,1)$和$P_2$：$(0,0)$ → $(1,0)$ → $(1,1)$。

对于一条合法的路径 $P$，我们可以用一个字符串$w(P)$来表示，该字符串的长度为$n + m - 2$，其中只包含字符“$R$”或者字符“$D$”， 第 $i$ 个字符记录了路径$ P$ 中第 $i$ 步的移动 方法，“ $R$”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子，“ $D$”表示移动到当前格子下面 与它相邻的格子。例如，上图中对于路径$P_1$，有$w(P_1) =$ “$RD$”；而对于另一条路径$P_2$， 有$w(P_2) =$ “$DR$”。

同时，将每条合法路径 $P$ 经过的每个格子上填入的数字依次连接后，会得到一个长 度为$n + m - 1$的 $01$ 字符串，记为 $s(P)$。例如，如果我们在格子$(0,0)$和$(1,0)$上填入数字 $0$，在格子$(0,1)$和$(1,1)$上填入数字 1（见上图红色数字）。那么对于路径$P_1$，我们可以得 到$s(P_1) =$ “$011$”,对于路径$P_2$，有$s(P_2) =$ “$001$”。

游戏要求小 D 找到一种填数字$ 0$、$ 1$ 的方法，使得对于两条路径$P_1$， $P_2$，如果$w(P_1) > w(P_2)$，那么必须$s(P_1) \leq s(P_2)$。我们说字符串 $a$ 比字符串 $b$ 小，当且仅当字符串 $a$ 的字典序小于字符串 $b$ 的字典序，字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满 足小 D 的好奇心，小 D 更想知道这个游戏有多少种玩法，也就是说，有多少种填数字 的方法满足游戏的要求？

小 D 能力有限，希望你帮助他解决这个问题，即有多少种填 $0$、$1$ 的方法能满足题目要求。由于答案可能很大，你需要输出答案对$10^9 + 7$取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

输入文件共一行，包含两个正整数 $n,m$，由一个空格分隔，表示矩形的大小。其 中 $n$ 表示矩形表格的行数，$m$ 表示矩形表格的列数。

输出格式：

输出共一行，包含一个正整数，表示有多少种填 $0$、$1$ 的方法能满足游戏的要求。 注意：输出答案对 $10^9+7$ 取模的结果。

输入输出样例

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2 2

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12

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3 3

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5 5

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说明

【样例解释】

【数据规模与约定】